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$\operatorname{sen}(x) = -1$
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Matemática 51
2025
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
9.
Resolver las ecuaciones:
b) $\operatorname{sen}(x)+1=0$ para $x \in[-\pi ; 2 \pi]$
b) $\operatorname{sen}(x)+1=0$ para $x \in[-\pi ; 2 \pi]$
Respuesta
Antes de resolver estos ejercicios te recomiendo que mires los videos de funciones trigonométricas, sino, ver las resoluciones sin entender el por qué te puede llegar a resultar un poco frustrante. ¡Vamos que se puede!
Primero, primeriiiiisimo, tenés que despejar la función trigonométrica que contiene a nuestra incónita $x$:
$\operatorname{sen}(x)+1=0$
1. Planteamos la circunferencia trigonométrica y buscamos el/los valor/es de $x$:
El seno de $x$ es igual a $-1$ en el punto más bajo de la circunferencia unitaria, que corresponde al eje vertical (eje y) negativo.
De la circunferencia trigonométrica obtenemos:
$x = \frac{3}{2}\pi$, el cual es el único valor en la circunferencia trigonométrica donde el seno vale exactamente -1.
2. Revisamos que los puntos estén dentro del intervalo indicado:
En este caso podrías encontrar las soluciones dentro del intervalo dado de forma gráfica (como hicimos en el ítem a) ), pero yo voy a hacerlo buscando diferentes soluciones y evaluando si estas están o no dentro del intervalo dado.
2.1. Lo primero es escribir el intervalo en medios de $\pi$:
2.1. Lo primero es escribir el intervalo en medios de $\pi$:
$[-\pi, 2\pi] = [-\pi \frac{2}{2}, 2\pi \frac{2}{2}] = [-\frac{2}{2}\pi , \frac{4}{2}\pi]$
2.2. Escribo la solución en forma de todas las soluciones infinitas:
$x = \frac{3}{2}\pi + 2\pi k$
2.3. Luego obtenemos las diferentes soluciones para diferentes valores de $k$ (vueltas en la circunferencia):
$k=0$ -> $x = \frac{3}{2}\pi + 2\pi (0) = \frac{3}{2}\pi$ ✅
está dentro del intervalo $[-\frac{2}{2}\pi , \frac{4}{2}\pi]$
$k=-1$ -> $x = \frac{3}{2}\pi + 2\pi (-1) = \frac{3}{2}\pi - 2\pi = \frac{3}{2}\pi - \frac{4}{2} \pi = \frac{-1}{2}\pi $✅
está dentro del intervalo $[-\frac{2}{2}\pi , \frac{4}{2}\pi]$
$k=-2$ -> $x = \frac{3}{2}\pi + 2\pi (-2) = \frac{3}{2}\pi - 4\pi = \frac{3}{2}\pi - \frac{8}{2} \pi = \frac{-5}{2}\pi $❌
no está dentro del intervalo $[-\frac{2}{2}\pi , \frac{4}{2}\pi]$.
Ya no buscamos más valores de $k$ negativos.
$k=1$ -> $x = \frac{3}{2}\pi + 2\pi (1) = \frac{3}{2}\pi + 2\pi = \frac{3}{2}\pi + \frac{4}{2} \pi = \frac{7}{2}\pi $❌
no está dentro del intervalo $[-\frac{2}{2}\pi , \frac{4}{2}\pi]$
Ya no buscamos más valores de $k$ positivos.
Los valor de $x$ en $[-\pi, 2\pi]$ que cumple con $\sin(x) + 1 = 0$ ($\sin(x) = -1$) son:
• $x = -\frac{1}{2}\pi$
• $x = \frac{3}{2}\pi$
Solución: $\left\{-\frac{1}{2}\pi; \frac{3}{2}\pi\right\}$
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